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Mathématiques (thésaurus)

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analyse mathématique > combinatoire > identité de Vandermonde

algèbre > combinatoire > identité de Vandermonde

algèbre > algèbre élémentaire > identité > identité de Vandermonde

Terme préférentiel

identité de Vandermonde

Définition(s)

En mathématiques combinatoires, l'identité de Vandermonde, ainsi nommée en l'honneur d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), ou formule de convolution, affirme que, pour des entiers naturels ${\\displaystyle k,m,n}$ , on a

${\\displaystyle {\inom {m+n}{k}}=\\sum _{\\overset {0\\leqslant i,j\\leqslant k}{i+j=k}}{\inom {m}{i}}{\inom {n}{j}}=\\sum _{i=0}^{k}{\inom {m}{i}}{\inom {n}{k-i}}=\\sum _{j=0}^{k}{\inom {m}{k-j}}{\inom {n}{j}}}$

où les nombres ${\\displaystyle {b \\choose a}}$ , avec ${\\displaystyle a,b\\in \\mathbb {N} }$ , sont des coefficients binomiaux, c'est-à-dire que ${\\displaystyle {b \\choose a}={\ rac {b!}{a!\\,(b-a)!}}}$ si ${\\displaystyle 0\\leqslant a\\leqslant b}$ (le point d'exclamation « ! » désignant la factorielle) et ${\\displaystyle {b \\choose a}=0}$ si ${\\displaystyle a>b}$ .
Les contributions non nulles à la somme de droite proviennent des valeurs de $j$ pour lesquelles les coefficients binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire pour ${\\displaystyle \\max(0,k-m)\\leqslant j\\leqslant \\min(n,k)}$ .
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_de_Vandermonde)

Concept(s) générique(s)

Synonyme(s)

formule de convolution

Traductions

Vandermonde's identity

anglais
Vandermonde's convolution

URI

http://data.loterre.fr/ark:/67375/PSR-PJ28VRBP-W

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RDF/XML TURTLE JSON-LD Date de création 13/07/2023, dernière modif. 13/07/2023