Concept information
Terme préférentiel
extension cyclotomique
Définition(s)
-
En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps ℚ des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme ℚ(ζ) où ζ est une racine de l'unité. Ces corps jouent un rôle crucial, d'une part dans la compréhension de certaines équations diophantiennes : par exemple, l'arithmétique (groupe des classes, notamment) de leur anneau des entiers permet de montrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas (voir nombre premier régulier) ; mais aussi, dans la compréhension des extensions algébriques de ℚ, ce qui peut être considéré comme une version abstraite du problème précédent : le théorème de Kronecker-Weber, par exemple, assure que toute extension abélienne est contenue dans une extension cyclotomique. Enfin, la théorie d'Iwasawa permet d'étudier ces extensions cyclotomiques, en ne les considérant plus séparément, mais comme des familles cohérentes.
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_cyclotomique)
Concept(s) générique(s)
Concept(s) spécifique(s)
- conjecture de Vandiver
- entier de Gauss
- entier d'Eisenstein
- nombre premier régulier
- période de Gauss
- polynôme cyclotomique
- racine de l'unité
- rationnel de Gauss
- somme de Gauss
- somme de Jacobi
- théorème de Chowla-Mordell
- théorème de Herbrand-Ribet
- théorème de Hilbert-Speiser
- théorème de Kronecker-Weber
- théorème de Stickelberger
- théorème de Thaine
- théorie de Kummer
- théorie d'Iwasawa
- tour de corps
Traductions
-
anglais
URI
http://data.loterre.fr/ark:/67375/PSR-DQMTBLQT-5
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