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catégorie additive

Les catégories additives jouent un rôle essentiel en théorie des catégories. De très nombreuses catégories rencontrées en pratique sont en effet additives. Toute catégorie abélienne (telle que la catégorie des groupes abéliens, ou celle des modules à gauche sur un anneau, ou encore celle des faisceaux de modules sur un espace localement annelé) est additive. Néanmoins, dès qu'on munit d'une topologie des objets appartenant à une catégorie abélienne, et qu'on exige des morphismes qu'ils soient des applications continues, on obtient une catégorie qui n'est généralement plus abélienne, mais qui est souvent additive. Par exemple, la catégorie des espaces vectoriels sur le corps des réels ou des complexes et des applications linéaires est abélienne, en revanche la catégorie des espaces de Banach, celle des espaces de Fréchet, ou encore celle des espaces vectoriels topologiques sur le corps des réels ou des complexes et des applications linéaires continues, est additive mais n'est pas abélienne. On notera que pour qu'une catégorie soit additive, il est nécessaire que chacun de ses objets soit muni d'une structure de groupe abélien ; ainsi par exemple, la catégorie des ensembles, celle des groupes ou celle des espaces topologiques, n'est pas additive.
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Cat%C3%A9gorie_additive)

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