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Mathématiques (thésaurus)

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optimisation > lemme de Farkas

géométrie > analyse convexe > lemme de Farkas

Preferred term

lemme de Farkas

Definition(s)

Le lemme de Farkas est un résultat d'analyse convexe (une branche des mathématiques) qui s'exprime et s'interprète de multiples manières. Sous une forme assez générale, il donne une expression duale de l'adhérence de l'image d'un cône convexe ${\\displaystyle K}$ par une application linéaire ${\\displaystyle A}$ :

${\\displaystyle {\\overline {A(K)}}=[{A^{*}}^{-1}(K^{*})]^{*},}$

où ${\\displaystyle A^{*}}$ est l'adjointe de ${\\displaystyle A}$ et ${\\displaystyle P^{*}}$ désigne le cône dual d'une partie ${\\displaystyle P}$ .
Lorsque ${\\displaystyle A(K)}$ est fermé, on obtient ainsi des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système d'équations linéaires (ou affines) ait une solution dans ${\\displaystyle K}$ . Sous la forme ci-dessus, le lemme de Farkas généralise la relation d'algèbre linéaire reliant l'image d'une application linéaire ${\\displaystyle A}$ entre deux espaces euclidiens et le noyau de ${\\displaystyle A^{*}}$ , à savoir

${\\displaystyle \\operatorname {Im} {(A)}={\\operatorname {Ker} {(A^{*})}}^{\\perp }.}$
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Farkas)

Broader concept(s)

In other languages

Farkas' lemma

English

URI

http://data.loterre.fr/ark:/67375/PSR-VH4F4166-V

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RDF/XML TURTLE JSON-LD Created 8/16/23, last modified 8/16/23