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Mathématiques (thésaurus)

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nombre > constante mathématique > constante de Prouhet-Thue-Morse

nombre > nombre transcendant > constante de Prouhet-Thue-Morse

nombre > théorie des nombres > constante de Prouhet-Thue-Morse

Preferred term

constante de Prouhet-Thue-Morse

Definition(s)

En mathématiques et dans ses applications, la constante de Prouhet-Thue-Morse, portant les noms de Eugène Prouhet, Axel Thue et Marston Morse, est le nombre ${\\displaystyle \ au \\,}$ dont le développement binaire est la suite de Prouhet-Thue-Morse. En d'autres termes,

${\\displaystyle \ au =\\sum _{i=0}^{\\infty }{\ rac {t_{i}}{2^{i+1}}}=0,412~454~033~640\\ldots }$

où ${\\displaystyle t_{i}}$ est le ${\\displaystyle i}$ ^e terme de la suite de Prouhet-Thue-Morse.
Elle est répertoriée comme la suite A014571 de l'OEIS.
La série génératrice pour ${\\displaystyle t_{i}}$ est donnée par

${\\displaystyle \ au (x)=\\sum _{i=0}^{\\infty }(-1)^{t_{i}}\\,x^{i}={\ rac {1}{1-x}}-2\\sum _{i=0}^{\\infty }t_{i}\\,x^{i}}$

et peut être exprimée par

${\\displaystyle \ au (x)=\\prod _{n=0}^{\\infty }(1-x^{2^{n}}).}$

Ceci est un produit de polynômes de Frobenius, et ainsi se généralise aux corps commutatifs arbitraires.
Kurt Mahler a montré que ce nombre est transcendant en 1929. Comme la suite de Prouhet-Thue-Morse est une suite automatique, ce fait résulte maintenant du théorème général que tout nombre défini par une suite automatique est soit rationnel, soit transcendant.
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Prouhet-Thue-Morse)

Broader concept(s)

In other languages

Prouhet-Thue-Morse constant

English

URI

http://data.loterre.fr/ark:/67375/PSR-JG72VR41-K

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RDF/XML TURTLE JSON-LD Created 8/3/23, last modified 8/24/23